Marcos, Teoría de Operadores y Análisis Matricial

Objetivos: Nuestro grupo realiza tareas de investigación dentro dos grandes áreas:

- Teoría de operadores / análisis matricial.
- Análisis armónico.

Estas grandes áreas interactúan naturalmente entre sí y proveen numerosas herramientas para el estudio no sólo de problemas de índole teórico, sino también para problemas que surgen de aplicaciones concretas como el procesamiento de señales.

Dentro de la teoría de operadores, nuestro grupo estudia problemas relacionados con propiedades métricas y/o geométricas de distintos conjuntos de operadores y propiedades espectrales de operadores. Entre los distintos tipos de problemas que estudiamos podemos mencionar el estudio de desigualdades que surgen a partir de problemas geométricos o espectrales, como por ejemplo en el caso de la conjetura de Strawn, entre otras cosas. Otro objeto de estudio son las medias de operadores, las cuales surgen cuando se quiere promediar un conjunto de datos, pero se desea que de algún modo ese promedio tenga en cuenta la geometría intrínseca de los datos. Si nos movemos un poco más hacia el análisis armónico, nos encontramos con los denominados operadores clásicos, como por ejemplo el operador maximal de Hardy-Littlewood y los operadores de Calderón-Zygmund, de los cuales nos interesa estudiar la acotación de los mismos en distintos espacios funcionales. De manera más precisa, algunas de las líneas de investigación que estudiamos en las direcciones antes mencionadas son:

- Desigualdades de operadores y su relación con problemas geométricos.
- Versiones locales de desigualdades de operadores y sus aplicaciones.
- Espacio homogéneos grupos unitarios restringidos.
- Existencia de geodésicas minimales en espacios homogéneos. Ejemplos en espacios de Hilbert concretos de funciones.
- Relaciones espectrales entre operadores autoadjuntos en factores de tipo II_1.
- Teoría espectral de operadores en espacios de Krein.
- Conjetura de Strawn y problemas relacionados.
- Teoremas ergódicos en espacios CAT(0) de Gromov.
- Medias de operadores en dimensión finita e infinita.
- Acotación de operadores clásicos en espacios de Lorentz con pesos.
- Problemas de extrapolación.


Por otra parte, en la intersección de la teoría de operadores y el análisis armónico encontramos la denominada teoría de marcos. Se trata de un área con numerosas aplicaciones al procesamiento de imágenes, de señales acústicas, etc. Nuestro grupo estudia estos objetos combinando técnicas provenientes de la teoría de operadores, análisis matricial, geometría diferencial, análisis de Fourier y análisis complejo. En el caso de marcos en espacios de dimensión finita, estudiamos problemas de optimalidad combinando técnicas de teoría espectral y geometría diferencial. En dimensión infinita, en algunos casos se utiliza la simetría de los problemas para reducirlos a problemas de dimensión finita o problemas más sencillos, en otros casos se utilizan técnicas de variable compleja para estudiar problemas de muestreo y reconstrucción de señales de banda limitada y en otros casos estudiamos las propiedades geométricas que se pueden inferir de un conjunto de la recta, el plano o más generalmente R^n, a partir de saber que en determinado espacio de funciones asociado a dicho conjunto existe una base o marco con cierta estructura. Muchos de estos problemas son estudiados también en el contexto de los espacios de Krein. La diversidad de herramientas que ponemos en juego nos permiten abordar una gran variedad de problemas, entre ellos:

- Aproximación por isometrías parciales y aproximación simétrica de marcos finitos.
- Mínimos locales del potencial de marco de completaciones con normas predeterminadas.
- Diseño óptimo de multi-marcos con normas vinculadas.
- Estudio de clases especiales de J-marcos (ajustados y de Parseval).
- Marcos de fusión: propiedades de marco bajo perturbaciones lineales, recuperación de fase por proyecciones, marcos de fusión en espacios de Krein.
- Espacios de Hardy y Hardy-Dirichlet y su relación con la teoría de marcos.
- Acciones de grupos localmente compactos abelianos y marcos.
- Análisis de Fourier: relación entre la existencia de bases y teselados.
- La conjetura de Heil-Ramanathan-Topiwala.
- Problemas de sampling e interpolación en espacios de funciones.
- Cuasicristales y medidas cristalinas.


Integrantes y contactos:

Tesis dirigidas por algún miembro del grupo en los últimos 5 años:

- García, María Guadalupe: “Estudio de problemas de reconstrucción de funciones en espacios de Paley Wiener asociados a medidas o grupos localmente compactos abelianos”, 2020.

- Rios, Noelia Belén: “Técnicas de teoría de operadores y análisis matricial en la teoría de marcos en espacios de Hilbert”, 2019

- Ghiglioni, Eduardo: “Fórmulas ergódicas para medias geométricas y curvas minimales”, 2018.

- Benac, María José: “Potenciales convexos, duales oblicuos óptimos y norma aliasing en subespacios invariantes por traslaciones.”, 2016.

Cursos ofrecidos:

Transformaciones completamente acotadas y álgebra de operadores (2020, grado y posgrado)

Temas de análisis de Fourier (2020, grado)

Teoría de operadores en espacios de Krein (2014, 2016 y 2019, grado y posgrado)

Análisis matricial (2000, 2001, 2004, 2011, 2019, 2021 grado y posgrado)

Introducción a la teoría de marcos en Espacios de Hilbert (2014 grado y 2018 grado y posgrado)

Teoría de operadores en espacios funcionales (2011 y 2015, grado y posgrado)

Álgebra lineal indefinida (2013, grado)

Complementos de Análisis Funcional (2005, 2012, 2017, grado y posgrado)

Teoría de Operadores (2007 y 2013, grado y posgrado).

Grupos de Lie-Banach (2015, 2018 y 2020, grado y posgrado)

Libros y apuntes:

Análisis Matricial: Cursos y seminarios de Matemática (Serie B), Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias Exactas y Naturales UBA (ISBN 1851-149X). Descargar

Análisis Funcional vs. Matricial (Análisis Matricial en espacios de Hilbert). Descargar

Ángulos y Cortocircuitos - Curso UMA 2017. Descargar

Mayorización Descargar

Un Curso de Topología Descargar

Un curso de Análisis Funcional Descargar

Principales resultados de la investigación
(publicaciones y exposición en congresos desde 2018)

Publicaciones en revistas con arbitraje: Casi todas las publicaciones del listado pueden bajarse de la base de datos https://arxiv.org/archive/math

Año 2021

L. Leben, F. Martínez Pería, F. Philipp, C. Trunk, H. Winkler, Finite Rank Perturbations of Linear Relations and Matrix Pencils. Complex Anal. Oper. Theory 15 (2021), no. 2, Paper No. 37, 37 pp.

P. Massey, D. Stojanoff y S. Zárate, The spectral spread of Hermitian matrices. Linear Algebra Appl. 616 (2021), 19-44.

E. Andruchow, E. Chiumiento, A. Varela, The C*-algebra of compact perturbations of diagonal operators. Oper. Matrices 15 (2021), no. 1, 59-84.

E. Andruchow, E. Chiumiento, A. Varela, Grassmann geometry of zero sets in reproducing kernel Hilbert spaces. J. Math. Anal. Appl. 500 (2021), no. 1, 125107, 31 pp.

E. Ghiglioni, Y. Lim, M. Pálfia, The Karcher mean of linearly independent triples. Linear Algebra Appl. 610 (2021), 203-221.

E. Chiumiento, On a conjecture by Mbekhta about best approximation by polar factors, Proc. Amer. Math. Soc. 149 (2021), 3913-3922.

Año 2020

J. Antezana, M. G. García, Model subspaces techniques to study Fourier expansions in $L^2$ spaces associated to singular measures, J. Funct. Anal. 279 (2020), no. 10, 23 pp.

J. Antezana, J. Bruna, E. Pujals, Linear independence of time-frequency translates in $L^p$ spaces. J. Fourier Anal. Appl. 26 (2020), no. 4, Paper No. 63, 15 pp.

J. Antezana, E. Ghiglioni, D. Stojanoff, Minimal curves in $\Cal{U}(n)$ and $\Cal{G}l(n)^+$ with respect to the spectral and the trace norms. J. Math. Anal. Appl. 483 (2020), no. 2, 26 pp.

E. Agora, J. Antezana, M. N. Kolountzakis, Tiling functions and Gabor orthonormal basis. Appl. Comput. Harmon. Anal. 48 (2020), no. 1, 96-122.

P. Massey, D. Stojanoff y S. Zárate, Majorization bounds for Ritz values of self-adjoint matrices. SIAM J. Matrix Anal. Appl. 41 (2020), no. 2, 554 -572.

M. J. Benac, P. Massey, M. Ruiz y D. Stojanoff, Optimal frame designs for multitasking devices with weight restrictions, . Adv. Comput. Math. 46 (2020), no. 2, Paper No. 22, 23 pp.

E. Ghiglioni, New deterministic approaches to the least square mean. Linear Algebra Appl. 585 (2020), 50-59.

P. Calderón, N. B. Rios, M. A. Ruiz, Local extrema for Procustes problems in the set of positive definite matrices, Linear Algebra Appl. 602 (2020), 252-263.

Año 2019

A. E. Chiumiento, Hopf-Rinow theorem in Grassmann manifolds of C*-algebras, Geometric Methods in Physics XXXVII, Birkäuser (2019), 145-152.

B. E. Andruchow, E. Chiumiento, G. Larotonda, Canonical sphere bundles of the Grassmann manifold, Geometriae Dedicata 203 (2019), 179-203.

C. E. Chiumiento, Global symmetric approximation of frames, Journal of Fourier Analysis and Applications 25 (2019), no. 4, 1395-1423.

M. Ruiz, P. Calderón, P, A DUALITY RESULT ON FRAME AND RIESZ SEQUENCES. Proceedings of VII MACI 7 (2019) 9-12 ISSN: 2314-3282.

E. Agora, J. Antezana, C. Cabrelli, Basarab Matei, Existence of quasicrystals and universal stable sampling and interpolation, Trans. Amer. Math. Soc. 372 (2019) 4647-4674

J Antezana, E. Chiumiento, Approximation by partial isometries and symmetric approximation of finite frames, J. Fourier Anal. Appl. 24 (2019) 1098-1118.

P. Massey, N. B. Ríos y D. Stojanoff, Generalized frame operator distance problems, Journal of Mathematical Analysis and Appl. 479 (2019), 1738-1763.

T. Berger, J. Giribet, F. Martínez Pería, and C. Trunk, On a class of non-hermitian matrices with positive definite Schur complements, Proc. Amer. Math. Soc. 147 (2019), 2375-2388.

Año 2018

D. E. Andruchow, E. Chiumiento, G. Larotonda, Geometric significance of Toeplitz kernels, Journal of Functional Analysis 275 (2018), no. 2, 329-355.

P. Massey, N. B. Ríos y D. Stojanoff, Frame completions with prescribed norms: local minimizers and applications, Adv. in Computational Mathematics {\bf 44} (2018), 51-86.

P. Massey, N. Ríos y D. Stojanoff, Local Lidskii's theorems for unitarily invariant norms, Linear Algebra Appl. 557 (2018), 34-61.

J. Giribet, M. Langer, L. Leben, A. Maestripieri, F. Martínez Pería, and C. Trunk, Spectrum of J-frame operators, Opuscula Math. 38 (2018), no. 5, 623-649.

J. Giribet, A. Maestripieri and F. Martínez-Pería, Duality for frames in Krein spaces, Math. Nachr. 291 (2018), no. 5-6, 879-896.

P. Calderón y M. Ruiz, A note on perturbations of fusion frames, J. Math. Anal. App., 461 (1), (2018). Páginas 169 - 175.