Álgebra y Geometría no conmutativa

Seminario AGNC

Lineas de investigación

El área de investigación del grupo es el álgebra y la geometría no conmutativa. Más específicamente, el grupo se dedica a estudiar distintas propiedades estructurales de grupos cuánticos algebraicos y ciertos problemas de K-teoría, usando herramientas de álgebra no conmutativa, álgebras de Hopf, teoría de Lie, geometría algebraica, teoría de representaciones, categorías tensoriales y categorías trianguladas.

Las líneas actuales constan de

- Clasificación de álgebras de Hopf punteadas sobre grupos finitos simples de tipo Lie
- Álgebras de Hopf sin la propiedad (dual) de Chevalley
- Grupos cuánticos multiparamétricos
- Subrupos cuánticos de grupos cuánticos simples
- Determinantes cuánticos y álgebras de Nichols
- Representaciones de grupos cuánticos generalizados
- Conjetura de Baum-Connes en el contexto de la K-teoría algebraica

La teoría de grupos cuánticos tuvo sus orígenes en el estudio de sistemas cuánticos integrales en mecánica estadística. Primeramente, los grupos cuánticos fueron introducidos independientemente por Drinfeld y Jimbo a principios de la década de los 80.

A partir de ese momento, han cobrado gran importancia como herramientas de estudio en diversos problemas de matemática y de la física teórica, desde invariantes topológicos en dimensión baja hasta teoría conforme de campos y computación cuántica.

Se puede decir que la teoría de grupos cuánticos analítica tuvo sus orígenes en el estudio de la dualidad de Pontrjagin en el contexto no conmutativo, como una generalización de la dualidad para grupos localmente compactos no abelianos.

En sus trabajos, Woronowicz desarrolló una teoría general para grupos cuánticos compactos y, luego de diversas contribuciones por diferentes autores, Kustermans y Vaes establecen la definición axiomática de grupo cuántico localmente compacto. Cabe destacar que esta clase de grupos cuánticos es la única que se ha podido definir de manera axiomática. Hasta ahora no existe una definición rigurosa de grupo cuántico que sea ampliamente aceptada, sin embargo se coincide en aceptar que la categoría de grupos cuánticos debería corresponderse a la categoría opuesta de la categoría de (C*-)álgebras de Hopf.

En general, los grupos cuánticos se pueden presentar a partir de deformaciones multiparamétricas de álgebras universales de álgebras de Lie semisimples o de álgebras de funciones sobre grupos algebraicos afines reductivos o compactos.

La teoría de grupos cuánticos provee una infinidad de ejemplos no triviales de álgebras de Hopf y de álgebras de operadores. De esta manera, se pueden entender como objetos que codifican las simetrías de espacios no conmutativos.

Integrantes y contactos

Investigadores CMaLP Contacto Página personal
García, Gastón Andrés ggarcia at mate.unlp.edu.ar http://www.mate.unlp.edu.ar/~ggarcia/
Tartaglia, Gisela gisela_tartaglia@hotmail.com


Estudiantes Doctorado Contacto Página personal
Bucher, Ana anabucher@gmail.com
Epelbaum, Laura arvoldemanzanas@gmail.com


Tesis dirigidas por algún miembro del grupo en los últimos 5 años:

Gutiérrez, Javier
FaMAF, Universidad Nacional de Córdoba.
“Grupos cuánticos torcidos en raíces de la unidad y sus subgrupos cuánticos”, 2016. Ver

Cursos

Álgebras de Hopf y Grupos Cuánticos

Grupos y Álgebras de Lie

Representaciones de Grupos Finitos

Teoría de Galois

Libros y apuntes

Grupos cuánticos matriciales. Curso en VII Jornadas de Álgebra, 2015, Santa Maria, Brasil.

Quantum Groups and Hopf algebras, 2009, XVIII Coloquio Latinoamericano de Álgebra, Sao Pedro, Brasil.

Principales resultados de investigación

Año 2021

D. Bagio, G. A. García, J. M. Jury Giraldi and O. Marquez. Finite-dimensional Nichols algebras over dual Radford algebras. Journal of Algebra and its Applications, Proceedings of the conference "QUANTUM 60 Colloquium on Algebras and Representations", en prensa.

G. A. García and F. Gavarini. Twisted deformations vs. cocycle deformations for quantum groups. Comm. Contemp. Math., en prensa. On line.

M. Farinati and G. A. García. Quantum function algebras from finite-dimensional Nichols algebras. J. Noncommutative Geometry, en prensa. On line.

N. Andruskiewitsch, G. Carnovale and G. A. García. Finite-dimensional pointed Hopf algebras over finite simple groups of Lie type V. Mixed classes in Chevalley and Steinberg groups. Manuscripta Mathematica, en prensa. On line.

Año 2020

N. Andruskiewitsch, G. Carnovale and G. A. García. Finite-dimensional pointed Hopf algebras over finite simple groups of Lie type IV. Unipotent classes in Chevalley and Steinberg groups. Algebr. Represent. Theory, 23 (2020), 621--655. On line.

Año 2019

F. Fantino, G. A. García and M. Mastnak. On finite-dimensional copointed Hopf algebras over dihedral groups. J. Pure Appl. Algebra 223, Issue 8 (2019), 3611--3634. On line.

G. A. García and J. M. Jury Giraldi. On Hopf algebras over quantum subgroups. J. Pure Appl. Algebra, Volume 223 (2019), Issue 2, 738--768. On line.

M. Beattie, G. A. García, Siu-Hung Ng and Jolie Roat. Nonsemisimple Hopf algebras of dimension 8p with the Chevalley property, Contemp. Math., Volume 728 (2019), 49--66. On line.

Año 2018

G. A. García and J. A. Gutiérrez. Quantum subgroups of simple twisted quantum groups at roots of one. Transactions of the AMS, Vol. 370, No. 5, (2018), 3609--3637. On line.

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