El área de investigación del grupo es el álgebra y la geometría no conmutativa.
Más específicamente, el grupo se dedica a
estudiar distintas propiedades estructurales de grupos cuánticos algebraicos y ciertos problemas de K-teoría,
usando herramientas de álgebra no conmutativa, álgebras de Hopf, teoría de Lie, geometría algebraica,
teoría de representaciones, categorías tensoriales y categorías trianguladas.
Las líneas actuales constan de
- Clasificación de álgebras de Hopf punteadas sobre grupos finitos simples de tipo Lie
- Álgebras de Hopf sin la propiedad (dual) de Chevalley
- Grupos cuánticos multiparamétricos
- Subrupos cuánticos de grupos cuánticos simples
- Determinantes cuánticos y álgebras de Nichols
- Representaciones de grupos cuánticos generalizados
- Conjetura de Baum-Connes en el contexto de la K-teoría algebraica
La teoría de grupos cuánticos tuvo sus orígenes en el estudio de sistemas cuánticos integrales en mecánica estadística.
Primeramente, los grupos cuánticos fueron introducidos independientemente por Drinfeld y Jimbo a principios de la década de los 80.
A partir de ese momento, han cobrado gran importancia como herramientas de estudio en diversos problemas de matemática y
de la física teórica, desde invariantes topológicos en dimensión baja hasta teoría conforme de campos y computación cuántica.
Se puede decir que la teoría de grupos cuánticos analítica tuvo sus orígenes en el estudio de la dualidad de Pontrjagin en el
contexto no conmutativo, como una generalización de la dualidad para grupos localmente compactos no abelianos.
En sus trabajos, Woronowicz desarrolló una teoría general para grupos cuánticos compactos y, luego de diversas contribuciones
por diferentes autores, Kustermans y Vaes establecen la definición axiomática de grupo cuántico
localmente compacto. Cabe destacar que esta clase de grupos cuánticos es la única que se ha podido definir de
manera axiomática. Hasta ahora no existe una definición rigurosa de grupo cuántico que sea ampliamente aceptada,
sin embargo se coincide en aceptar que la categoría de grupos cuánticos debería corresponderse a la categoría opuesta
de la categoría de (C*-)álgebras de Hopf.
En general, los grupos cuánticos se pueden presentar a partir de deformaciones multiparamétricas de álgebras
universales de álgebras de Lie semisimples o de álgebras de funciones sobre grupos algebraicos afines reductivos o compactos.
La teoría de grupos cuánticos provee una infinidad de ejemplos no triviales de álgebras de Hopf y de álgebras de operadores.
De esta manera, se pueden entender como objetos que codifican las simetrías de espacios no conmutativos.