Seminario de Álgebra y Geometría no conmutativa

Esta es la página del Seminario AGNC del grupo de investigación de álgebra y geometría no conmutativa. El mismo consiste de charlas invitadas de investigadores, tanto nacionales como extranjeros, donde se exponen temas actuales de investigación o de interés para el grupo.

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30 de septiembre/ Rafael Parra (Udelar)/K-teoría de anillos n-coherentes

Sea R un anillo fuertemente n-coherente tal que cada R-módulo finitamente n-presentado tiene dimensión proyectiva finita. Consideramos FPnR la subcategoría plena de R-módulos finitamente n-presentados. Probamos que K_{i}(R)=K_{i}(FPnR) para todo i mayor o igual a cero y obtenemos una nueva expresión para los grupos Nil_{i}(R).

26 de Agosto/ Marco Farinati (UBA) /Grupos de Grothendieck de categorías exactas, trianguladas, y estables.

Con vistas al cálculo del grupo de Grothendieck (K_0) de una categoría estable, repasaremos la definición del K_0 de una categoría exacta y de una categoría triangulada. Mostraremos que en el caso de la categoría estable asociada a un álgebra de Hopf con integral, se tiene el resultado esperado de presentación del K_0 de la estable como cociente del K_0 de comodulos por el K_0 de los inyectivos. Además, como la categoría es tensorial, esta presentación es de anillos: veremos como la estructura tensorial pasa a las versiones estables y cómo se pueden obtener ``categorificaciones'' de algunos módulos sobre este anillo.

12 de Agosto/ Marco Farinati (UBA) /Álgebra homológica en lenguaje Hopf II.
Ver pdf.
Repasaremos la estructura triangulada de la categoría de comódulos estable viendo que los triángulos vienen exactamente de las sucesiones exactas cortas. Luego definiremos el "funtor homología", que está bien definido en la categoria estable, repasando los ejemplos más pertinentes.

Si el tiempo lo permite, veremos que el funtor "homología" es efectivamente homológico (es decir, manda triángulos en sucesiones exactas largas) y que (a posteriori!) es representable.

5 de Agosto/ Marco Farinati (UBA) /Álgebra homológica en lenguaje Hopf.
Ver pdf.
- En 1988 B. Pareiguis publica un "curiosidad": [A Non-Commutative Non-Cocommutative Hopf Algebra in “Nature”] viendo que el hecho de tener objetos diferenciales graduados es lo mismo que tener una (co)representación de un álgebra de Hopf particular (este álgebra no es conmutativa ni coconmutativa, es una extensión del álgebra de polinomios de Laurent en una variable).
- En 1998 D. Happel publica un libro sobre categorías trianguladas y representaciones de álgebras de dimensión finita, donde desarrolla una maquinaria categórica (categorías estables) para producir categorías trianguladas.
- En 2016 M. Khovanov construye una categoría triangulada asociada a cada álgebra de Hopf de dimensión finita que es tensorial, luego su grupo de Grothendieck es un anillo, y consigue así ``categorificar'' el anillo de enteros ciclotómicos (en el caso de orden primo).

Lo que mostraremos es cómo una construcción dual a la de Khovanov se puede realizar perfectamente con la maquinaria de Happel, en donde la hipótesis de dimensión finita no es necesaria, pero sí es necesario tener una ''integral'' (o ''álgebra con invariante'', que es automática en dimensión finita). Esta construcción contiene como ejemplo al álgebra de Pareiguis -que es de dimensión infinita-, recuperándose exactamente (y no sólo a modo de analogía) las construcciones clásicas del álgebra homológica: (cono, suspensión, homotopía, quasi-isomorfismo,...) y también el funtor natural ''homología'': la fórmula ''Ker d/Im d'' se describe en términos Hopf. La categoría estable obtenida en el caso del álgebra de Pareiguis es la categoría derivada (unbounded) usual de complejos. También demostramos una fórmula que permite describir el K0 de estas categorías.

22 de Julio/ Eugenia Ellis (Udelar) /Teorema Green-Julg y el problema del assembly map.
Daremos los detalles del teorema de Green-Julg y discutiremos un poco del problema el assembly map de las conjeturas de isomorfismo.

8 de Julio/ Eugenia Ellis (Udelar) /Estabilización fuerte y débil.
Estudiaremos la estabilización de funtores vía ternas (V,W,b) siendo V y W módulos y b una forma bilineal. La versión fuerte de esta estabilización implica la Morita equivalencia. Con la versión débil recuperamos las estabilizaciones matriciales anteriormente definidas. Si nos da tiempo veremos la prueba del teorema de Green-Julg para este contexto.

24 de Junio/ Eugenia Ellis (Udelar) /Estabilización matricial equivariante
Estudiaremos cómo generalizar el concepto de estabilización matricial al contexto equivariante. Discutiremos primero el caso para G-algebras cuando G es un grupo y luego discutiremos el caso para H-modulo algebras cuando H es un grupo cuántico algebraico.

10 de Junio/ Eugenia Ellis (Udelar) /K-teoría bivariante para G-módulo álgebras II
Esta es la continuación de la charla anterior sobre K-teorìa bivariante algebraica.

6 de Junio/ Eugenia Ellis (Udelar) /K-teoría bivariante para G-módulo álgebras
La k-teoría bivariante algebraica fue introducida por Cortiñas y Thom para mostrar que algunas técnicas en la teoría de álgebra de operadores siguen valiendo en un contexto puramente algebraico. Siguiendo esta línea y mostrando el paralelismo de propiedades con la KK-teoría de Kasparov introducimos una k-teoría bivariante algebraica equivariante para grupos cuánticos. Sea G un grupo cuántico algebraico en el sentido de Van Daele. Definimos una K-teoría bivariante para la categoría de G-módulo álgebras. Para cada par (A,B) de G-modulo algebras definimos un grupo que son los morfismos de una categoría kk. Estudiamos algunas propiedades y teoremas de adjunción en esta teoría.